クリックプレートを入れるとEQUALコントロールレバーはインデックス式のレバーになりますか。

いいえ、クリックプレートは変速で使うレバー(A/B)の操作量を分かりやすくするための「クリック感」をコントロールレバーに付与するものです。
あくまで「クリック感」のみですので、リアディレーラーの制御方式は変わらずフリクション式となります。